Transiciones Fluidas Emergentes: Un Modelo Conceptual
Estados del sistema
Un sistema dinámico puede representarse mediante un conjunto de estados \( S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\} \), donde cada estado describe una configuración posible del sistema. Estos estados pueden ser discretos o continuos dependiendo del contexto físico o computacional.
Variable de control
La evolución del sistema está influenciada por una variable de control \( \lambda \), que puede representar parámetros físicos como temperatura, presión, o velocidad. Esta variable modula la probabilidad de transición entre estados.
Distribución de probabilidad
La probabilidad de que el sistema esté en el estado \( s_i \) está dada por \( P(s_i) \), y la distribución completa se denota como \( P(S) \). Esta distribución puede evolucionar en el tiempo según:
\[ \frac{dP(s_i)}{dt} = \sum_{j} T_{ji}(\lambda) P(s_j) - T_{ij}(\lambda) P(s_i) \]
donde \( T_{ij}(\lambda) \) es la tasa de transición de \( s_i \) a \( s_j \) controlada por \( \lambda \).
Entropía
La entropía del sistema mide la incertidumbre de su estado y se define como:
\[ H = -\sum_{i} P(s_i) \log P(s_i) \]
Una transición fluida emergente se caracteriza por un cambio suave en \( H \) en función de \( \lambda \), sin discontinuidades abruptas.
Dinámica de transición
La dinámica de transición puede modelarse como un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que describen cómo \( P(s_i) \) cambia con el tiempo y con \( \lambda \). En ciertos casos, se puede observar un comportamiento crítico donde pequeñas variaciones en \( \lambda \) inducen grandes cambios en la distribución.
Conexión con Navier-Stokes
Las transiciones fluidas emergentes pueden vincularse con la dinámica de fluidos descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes:
\[ \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f} \]
donde \( \vec{v} \) es el campo de velocidad, \( p \) la presión, \( \mu \) la viscosidad, y \( \vec{f} \) fuerzas externas. Estas ecuaciones pueden interpretarse como una analogía continua de las transiciones entre estados en sistemas discretos.
