El Umbral del Infinito: Una Aproximación Empírica desde la Concentración

Autor: Maximiliano Mozetic
Fecha: Agosto 2025

Introducción

En física, la longitud de Planck marca el límite donde la geometría clásica del espacio-tiempo deja de tener sentido. ¿Existe un equivalente en matemáticas? En este artículo proponemos una idea operativa: el umbral del infinito, definido como el punto donde una distribución deja de comportarse como una entidad extendida y comienza a actuar como una masa puntual, acercándose al delta de Dirac.

Modelo de compresión logarítmica

Consideramos un modelo empírico para el percentil 95 de una distribución de Laplace, en función del tamaño muestral $N$:

$$ c(N) = a \cdot \ln(N) + b $$

Con parámetros estimados: $$ a = 1.442,\quad b = -6.626 $$

Invariantes de compresión

Para estudiar la concentración progresiva, definimos tres invariantes:

• Razón de compresión: $r(N) = \frac{c(N)}{c(N/2)}$
• Diferencia absoluta: $\Delta(N) = c(N) - c(N/2)$
• Derivada logarítmica discreta: $\frac{d\ln c}{d\ln N} = \frac{\ln c(N) - \ln c(N/2)}{\ln 2}$

Resultados empíricos

A partir de $N = 10^7$, observamos que:

• $r(N) \approx 1.05$
• $\Delta(N) \approx 0.73$
• $\frac{d\ln c}{d\ln N} < 0.05$

Esto indica que el sistema ha entrado en una fase de concentración efectiva, donde el comportamiento estadístico se aproxima al límite idealizado del delta de Dirac.

El delta de Dirac como límite

El delta de Dirac $\delta(x)$ representa una concentración infinita en un punto. En nuestro modelo, conforme $N \to \infty$, la distribución se aproxima a:

$$ \lim_{N \to \infty} f_N(x) = \delta(x) $$

Por lo tanto, podemos definir el umbral de Dirac como el valor de $N$ a partir del cual:

• $c(N) < \varepsilon$ para algún $\varepsilon$ pequeño
• $r(N) \approx 1$
• $\Delta(N) \approx 0$

Conclusión

El umbral del infinito no es un número mágico, sino una transición conceptual. En nuestro estudio, $N = 10^7$ marca el inicio de un régimen donde la distribución deja de expandirse y comienza a comportarse como una singularidad. Esta idea puede extenderse a otros contextos matemáticos y físicos, ofreciendo una herramienta para pensar el infinito desde lo finito.

¿Dónde empieza el infinito? Tal vez justo donde el cambio deja de importar.

📘 Distribución Laplaciana de desviaciones en los pares de Goldbach

Una aproximación analítica al centro de simetría

1. Introducción

La conjetura fuerte de Goldbach afirma que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Aunque ha sido verificada computacionalmente para valores enormes de $N$, aún no se ha logrado una demostración general.

Más allá de la existencia de tales pares, surge una pregunta más profunda: ¿cómo se distribuyen estos pares respecto al centro de simetría $N/2$? Inspirado por la noción de simetría relativa propuesta por Mozetič, este ensayo explora la estructura interna de los pares de Goldbach desde una perspectiva estadística.

Introducimos la desviación normalizada:

$$t = \frac{2p - N}{N}$$

Esta medida nos permite estudiar la distribución de los pares en torno al centro. A partir de ella, proponemos un modelo basado en la distribución de Laplace, que revela una sorprendente regularidad.

2. Marco teórico

La desviación normalizada $t$ mide cuán lejos está un primo $p$ del centro $N/2$, en proporción al tamaño de $N$. Como los pares $(p, q)$ y $(q, p)$ son simétricos, la distribución de $t$ es naturalmente simétrica respecto a cero.

Proponemos modelar la densidad de estas desviaciones mediante una distribución de Laplace centrada en cero:

$$f_N(t) = \frac{1}{2b_N} \cdot e^{-\frac{|t|}{b_N}}$$

Donde $b_N$ es el parámetro de escala que controla la dispersión. Empíricamente, observamos que $b_N \sim \frac{1}{\log N}$, lo que indica que los pares se agrupan cada vez más cerca del centro conforme $N$ crece.

3. Resultados empíricos

Probamos el modelo para distintos valores de $N$, y los resultados fueron consistentes:

• Para $N = 1000$:
  $G(1000) \approx 21$ pares totales
  $\approx 49.88\%$ dentro de $|t| < 0.1$
• Para $N = 10^6$:
  $G(10^6) \approx 5236$ pares totales
  $\approx 74.88\%$ dentro de $|t| < 0.1$

4. Comparación con Hardy–Littlewood

La fórmula heurística de Hardy–Littlewood estima el número total de pares como:

$$G(N) \sim \frac{N}{\log^2 N} \cdot \mathfrak{S}(N)$$

Donde $\mathfrak{S}(N)$ es un factor de corrección aritmético. Esta fórmula predice la cantidad total, pero no la forma interna de la distribución.

Nuestro modelo propone una densidad refinada:

$$g_N(t) = G(N) \cdot f_N(t)$$

Esto permite estimar cuántos pares tienen desviación dentro de un intervalo dado. Por ejemplo, para $N = 10^6$, el modelo predice que más del 74% de los pares están dentro de $|t| < 0.1$.

5. Implicaciones teóricas

La concentración creciente de masa cerca del centro sugiere que, para $N$ grande, la existencia de al menos un par primo es estadísticamente inevitable.

Además, la relación $b_N \sim \frac{1}{\log N}$ conecta directamente con la densidad de primos, cuya distancia promedio también crece como $\log N$. Esto refuerza la idea de que la distribución de desviaciones está gobernada por principios aritméticos profundos.

6. Conclusión

La distribución Laplaciana de desviaciones normalizadas ofrece una vía analítica, elegante y parsimoniosa para estudiar la estructura interna de los pares de Goldbach. No solo refuerza la intuición geométrica de Mozetič, sino que también se alinea con la heurística de Hardy–Littlewood, aportando una capa adicional de comprensión.

Aunque no constituye una demostración directa de la conjetura fuerte, este enfoque estadístico sugiere que la existencia de al menos un par primo para cada $N$ par no es una rareza, sino una consecuencia natural de la estructura aritmética del conjunto de primos.

El triángulo implica Caos: ¿Cómo recorrer la ciudad siendo Turista?

 

La teoría del Caos nos dice que ante cambios infinitesimales en las condiciones iniciales de un sistema, los resultados que arrojará serán exponencialmente diferentes. Tanto es así, que se ejemplifica el caos diciendo que el aleteo de una mariposa al otro lado del mundo puede provocar un huracán donde estemos situados.

En el presente post no me voy a centrar en la historia de cómo se desarrolló la teoría del caos, sino solamente presentar un ejemplo que puede ilustrarnos la teoría y ayudarnos con un ejemplo real.

Supongamos que tenemos que hacer un recorrido del punto A al B, y supongamos que trazamos una recta también del punto A al C (ver imagen). En este caso, tenemos un triángulo equilátero, por ende, sus ángulos miden 60 grados cada uno y sus lados miden lo mismo.

Supongamos también que el recorrido es en medio de una ciudad totalmente desconocida, en la cual somos turistas. Dado que las cuadras tienen un orden discreto no continuo de acceso (no estamos al descampado), cada elección nos desvía un poco del camino recto de A a B.

Tanto es el desvío posible, que desde el punto A, con solamente una dirección de desvío de 60 grados (totalmente plausible dada la discontinuidad de los accesos) podemos llegar al punto C, en vez de al B. Esto quiere decir que nos desviamos el mismo trayecto que recorrimos hasta ese punto, que es la distancia entre A y C, o, como se quiere representar, entre C y B.

Como vemos, la teoría del caos está presente, es decir, con unas condiciones iniciales levemente perturbadas (60 grados), nos desviamos el mismo trayecto que recorrimos. ¿Esto suele pasar en la vida cotidiana, no?.

No quiero explayarme diciendo que el teorema de Pitágoras y el camino de la hipotenusa nos llevan a destino más rápidamente, sin embargo, quiero seguir poetizando sobre matemáticas diciendo que podríamos sumar las manzanas que nos hemos desviado, haciendo una integral, que sume números discontinuos, de arriba hacia abajo, barriendo la superficie de desvío con líneas o curvas. Creo que este cálculo nos haría realmente originales.

Acertando el azar

En el siguiente experimento con números aleatorios, se intentó en cuatro jugadas, alcanzar la igualdad de una tira de elecciones al azar sobre 5 números (del 0 al 4). Es decir, quien jugaba de forma aleatoria podía elegir entre 0 y 4 como números. Con 15.000 pruebas en cada una de las partidas, donde cada jugada consistió de 6 partidas. Las 15.000 pruebas serían los intentos por igualar las elecciones de un jugador "B", por el que juega al azar llamado "A". Las elecciones de B son fijas en cada partida, eligiendo siempre la misma opción. En la primer partida el jugador B elige siempre la función azar, en la segunda el 0, en la tercera el 1, y así hasta el 4. Todas estas partidas pueden agruparse en 1 juego. Relevándose 4 juegos.

Finalmente, los resultados arrojaron que el mejor predictor es la mediana de las opciones, luego sus números más cercanos y finalmente el azar. Manteniéndose fuertemente estables para cada jugada. Presento a continuación uno de los resultados de estas jugadas. Donde las (probabilidades de aciertos) se obtienen dividiendo los aciertos de cada partida por 15.000.

Cálculo mental, una herramienta necesaria

Para empezar quiero decir que todos podemos mejorar la velocidad con que hacemos cálculos mentales, y que servirá mucho ya que vivimos rodeados de cálculos necesarios, desde lo económico a lo físico. Cuentas monetarias, medición del tiempo, referencias numéricas; sumas, restas, multiplicaciones y divisiones son las operaciones madres que se utilizarán para conectar y operar números y letras. Dominarlas nos darán un buen caballo de batalla a la hora de calcular.

Les dejo un ejemplo, el del genio de Rüdiger Gamm, calculista profesional que les hará reír por sus posturas, pero también sorprender.

Ver Link: https://www.youtube.com/watch?v=Uqncg87T_Vo

Entonces van algunas recomendaciones para practicar el cálculo mental:

1. Repasar escrita y verbalmente la tabla de múltiplos, para mí los múltiplos de cada número por sí mismo sirven de referencia, a partir de allí sumar los números que sean necesarios para alcanzar la multiplicación. Por ejemplo, 7x6, 6x6 es 36, +6 será 42.
2. Manejarse con los múltiplos de 10, aproximarse a estos en la suma y resta para facilitar las operaciones. Por ejemplo 23 + 17, separo 23+7=30, 30+10=40. Esto permite reducir las operaciones dentro de los primeros 11 números (0-10), luego añadir los ceros correspondientes. Por ejemplo, 122+132, 100+100=200, 20+30=50,2+2=4; por lo tanto, son 254 de resultado.
3. Para las multiplicaciones, tomar el mismo procedimiento reducir las operaciones sin los ceros y luego agregárselos. 72*40, 4*7=28,+00=>2800; 2*40=80, 2800+80=2880
4. Para los porcentajes, tomar siempre como referencia el 10% de un número y sumar la cantidad de veces que se tomó de porcentaje. Por ejemplo, 10% de 40, es 40/10=4, =>40% será 4*4=16.
5. Para las divisiones, pensar cuántas veces entra un número en otro, es decir hacer la inversa, el divisor cuántas veces lo puedo multiplicar para que entre en el dividendo. 8/2, el 2 entra 2*4=8, entonces entra 4 veces en el 8.

No se olvide que para ciertos cálculos no es necesario ser exactos, solo tener una noción de cuanto es el resultado.

Espero les sirva...sobre todo a Luciana en su cumpleaños que se lleva tan bien con las matemáticas!!!

La verdad no está en la superficie

La superficie nos muestra la apariencia de las cosas y los entes. Agreguemos a esto que nuestro aparato psíquico hace una selección sobre lo que vemos y observamos. Pero supongamos que observamos un objeto completamente. Esa es la superficie, la apariencia.

Siguiendo con el camino de una búsqueda, ¿hay algo más allá de lo que observamos?. Para responder esta pregunta voy a citar un ejemplo matemático.

La siguiente ecuación representaría lo que observamos:

2 + 2 = 4

Es evidente que las relaciones matemáticas entre los elementos dan un resultado lógico. 4 sería la respuesta para el común de la gente formada en matemáticas.

¿Qué piensan si les digo que la ecuación no muestra la verdad?. Seguramente que me llevé a Marzo Matemáticas.

En realidad el resultado puede que no sea 4. Para demostrarlo voy a mencionar que existe un consenso acerca de los decimales. Si los decimales son mayores o iguales a 5 entonces se aproxima hacia arriba, si son menores a 5 se aproxima hacia abajo. Con este consenso, la ecuación puede escribirse de la siguiente forma:

2,1312 + 2,2132 = 4,3444

Si redondeamos a números enteros (sin decimales), como todos los decimales son menores a 5, entonces se aproxima hacia abajo:

2 + 2 = 4

Según con la exactitud con la que observemos, los resultados pueden ser diferentes 4 (la apariencia) o 4,3444 (la verdad).

Entonces, ¿Quién dijo que 2 + 2 es 4?.