El Umbral de Saturación en Redes Logísticas

En sistemas de distribución, añadir más centros logísticos mejora la eficiencia hasta cierto punto. Más allá de ese umbral, el sistema se vuelve redundante y los costos marginales superan los beneficios. Este fenómeno puede modelarse como una singularidad de concentración.

Modelo Matemático

Sea \( N \) el número de centros logísticos, y \( C(N) \) el costo total del sistema, compuesto por:

• Costos fijos por centro: \( c_f \cdot N \)
• Costos de transporte promedio: \( c_t(N) \), que decrecen con \( N \)
• Costos de redundancia: \( c_r(N) \), que crecen con \( N \)

Entonces:

$$ C(N) = c_f \cdot N + c_t(N) + c_r(N) $$

Definimos el umbral de saturación como el punto donde la derivada del costo total respecto a \( N \) cambia de signo:

$$ \frac{dC}{dN} = 0 $$

Este umbral indica que el sistema ha alcanzado su eficiencia óptima. Añadir más nodos logísticos no reduce el costo total, sino que lo incrementa.

Interpretación Dirac

En el límite, si todos los recursos se concentran en un único nodo óptimo, el sistema se comporta como una distribución delta:

$$ \lim_{N \to 1} C(N) \sim \delta(x - x_0) $$

Donde \( x_0 \) es la ubicación óptima del centro logístico único. Este modelo permite pensar la logística como un sistema de compresión espacial.