El Umbral del Infinito: Una Aproximación Empírica desde la Concentración

Autor: Maximiliano Mozetic
Fecha: Agosto 2025

Introducción

En física, la longitud de Planck marca el límite donde la geometría clásica del espacio-tiempo deja de tener sentido. ¿Existe un equivalente en matemáticas? En este artículo proponemos una idea operativa: el umbral del infinito, definido como el punto donde una distribución deja de comportarse como una entidad extendida y comienza a actuar como una masa puntual, acercándose al delta de Dirac.

Modelo de compresión logarítmica

Consideramos un modelo empírico para el percentil 95 de una distribución de Laplace, en función del tamaño muestral $N$:

$$ c(N) = a \cdot \ln(N) + b $$

Con parámetros estimados: $$ a = 1.442,\quad b = -6.626 $$

Invariantes de compresión

Para estudiar la concentración progresiva, definimos tres invariantes:

• Razón de compresión: $r(N) = \frac{c(N)}{c(N/2)}$
• Diferencia absoluta: $\Delta(N) = c(N) - c(N/2)$
• Derivada logarítmica discreta: $\frac{d\ln c}{d\ln N} = \frac{\ln c(N) - \ln c(N/2)}{\ln 2}$

Resultados empíricos

A partir de $N = 10^7$, observamos que:

• $r(N) \approx 1.05$
• $\Delta(N) \approx 0.73$
• $\frac{d\ln c}{d\ln N} < 0.05$

Esto indica que el sistema ha entrado en una fase de concentración efectiva, donde el comportamiento estadístico se aproxima al límite idealizado del delta de Dirac.

El delta de Dirac como límite

El delta de Dirac $\delta(x)$ representa una concentración infinita en un punto. En nuestro modelo, conforme $N \to \infty$, la distribución se aproxima a:

$$ \lim_{N \to \infty} f_N(x) = \delta(x) $$

Por lo tanto, podemos definir el umbral de Dirac como el valor de $N$ a partir del cual:

• $c(N) < \varepsilon$ para algún $\varepsilon$ pequeño
• $r(N) \approx 1$
• $\Delta(N) \approx 0$

Conclusión

El umbral del infinito no es un número mágico, sino una transición conceptual. En nuestro estudio, $N = 10^7$ marca el inicio de un régimen donde la distribución deja de expandirse y comienza a comportarse como una singularidad. Esta idea puede extenderse a otros contextos matemáticos y físicos, ofreciendo una herramienta para pensar el infinito desde lo finito.

¿Dónde empieza el infinito? Tal vez justo donde el cambio deja de importar.