Essay on Goldbach Conjecture

Dear Fellows,

After weeks of research and articles in The Economic Elephant, I would like to introduce an essay on Goldbach Conjecture. This paper is a resume of any of my findings surrounding the Conjecture.

It was a beautiful adventure and I hope to repeat it with another problem anytime.

Hope you enjoy it!

Link: Essay on Goldbach Conjecture

All the best,

Max Mozetic

Explorando las Distancias entre "Primos" en una Descomposición Iterativa de Goldbach

 Introducción: La distribución de los números primos, esos ladrillos fundamentales de la aritmética, ha fascinado a los matemáticos durante siglos. Su aparente aleatoriedad esconde patrones sutiles que aún estamos desentrañando. Un hilo conductor en esta búsqueda es la Conjetura de Goldbach, que postula que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. Inspirados en esta conjetura, nos embarcamos en una exploración numérica, utilizando un algoritmo iterativo y una función matemática derivada para analizar las "distancias" entre una secuencia modificada de "primos" en el proceso de descomposición de números pares.   

Nuestra función clave es: $s(p_i,C_{anterior})=p_i+|(2p_i-2)-C_{anterior}|$, donde $p_i$ es un elemento de nuestra secuencia modificada de "primos" (incluyendo el 1 y los impares), y $C_{anterior}$ es el número par compuesto anterior al objetivo.

Metodología: Implementamos una función en Python que aplica iterativamente esta fórmula. Comenzando con un número par objetivo, la función busca un "primer primo" ($p_i$) tal que el valor calculado de $s$ sea un número primo estándar y su suma sea el objetivo. Si no se encuentra una descomposición directa, la función recursivamente intenta descomponer el valor de $s$, rastreando el camino de los "primos" utilizados en cada paso.

Para nuestra experimentación, utilizamos la secuencia de "primos modificados" hasta aproximadamente 1.7 millones y probamos con varios números pares, incluyendo 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 120, 38, 444556, 3344558 y 2334458. Analizamos el resultante para cada número par, centrándonos en la secuencia de "primos" utilizados y las "distancias" entre ellos.

Resultados: Para números pares más pequeños, la función a menudo encontró descomposiciones directas en un solo paso. Sin embargo, al probar con números más grandes como 3344558 y 2334458, observamos caminos de descomposición más largos, lo que sugiere que la función necesitó varias iteraciones para llegar a una descomposición donde el segundo componente fuera primo.

Por ejemplo, para 3344558, el camino de "primos" utilizados fue [3, 5, 3, 3344547], con "distancias" de [2, -2, 3344544]. De manera similar, para 2334458, la secuencia fue [3, 5, 3, 2334447] con distancias [2, -2, 2334444].

Discusión y Posibles Interpretaciones: La presencia de caminos de descomposición iterativos sugiere que la función puede explorar relaciones más complejas entre los "primos" en el contexto de la suma para formar números pares. Las "distancias" observadas varían significativamente y parecen depender del número par objetivo y de la secuencia de "primos" elegidos en cada paso de la iteración.

Es importante destacar que este enfoque, aunque inspirado en la Conjetura de Goldbach, no proporciona una visión directa de la distribución general de los números primos en la recta numérica. Más bien, ofrece una perspectiva sobre cómo los "primos" (en nuestra definición modificada) podrían interactuar aditivamente.

La inclusión del 1 en nuestra secuencia de "primos" podría influir en los caminos de descomposición, aunque en los casos que exploramos aquí, los "primos" utilizados en los pasos finales fueron primos estándar mayores que 1.

Conclusiones: Nuestra exploración inicial utilizando una función iterativa para la descomposición de Goldbach ha revelado la posibilidad de caminos más complejos que involucran una secuencia de "primos". El análisis de las "distancias" entre estos "primos" en los caminos de descomposición podría, en futuras investigaciones, revelar patrones más profundos sobre las relaciones aditivas de los números primos.

Si bien este método no ofrece una fórmula directa para la distribución de los primos, sí abre una ventana interesante para estudiar cómo los primos se combinan para formar números pares, tal como lo sugiere la Conjetura de Goldbach.

Desvelando Secretos con un Nuevo Algoritmo: ¿Pistas de la Hipótesis de Riemann en la Conjetura de Goldbach?

 La Conjetura de Goldbach, ese elegante enigma que afirma que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos, ha desconcertado a matemáticos durante siglos. Paralelamente, la Hipótesis de Riemann, una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta, se erige como la joya de la corona de la teoría de números, con profundas implicaciones para la comprensión de los mismísimos ladrillos fundamentales de las matemáticas: los números primos.

En nuestra reciente exploración, hemos abordado la Conjetura de Goldbach desde una perspectiva novedosa, desarrollando un algoritmo exploratorio con una función intrigante:

$$s(p_i,C_{anterior})=p_i+|2p_i-2-C_{anterior}|$$

La idea detrás de este algoritmo es sencilla: para un número par objetivo ($C_{objetivo}$), utilizamos el número par anterior ($C_{anterior}$) y una secuencia de "primos" ($p_i$) para generar un posible segundo sumando ($s$). Si tanto $p_i$ como $s$ resultan ser primos y su suma es $C_{objetivo}$, hemos encontrado una descomposición de Goldbach según nuestro algoritmo.

Una de las hipótesis que surgió de nuestro trabajo fue que, si este algoritmo generaba consistentemente descomposiciones de Goldbach, la distribución de los primos menores de estas parejas podría revelar una forma de "regularidad" subyacente, quizás insinuando la armonía que la Hipótesis de Riemann busca en el universo de los números primos.

Poniendo a Prueba la Regularidad: ¿Concentración Alrededor de la Media?

Para investigar esta posible regularidad, especialmente la idea de que los primos menores tenderían a concentrarse alrededor de la mitad del número par objetivo ($C_{objetivo}/2$), implementamos nuestro algoritmo y lo probamos con una serie de números pares, analizando la distribución de los primos menores encontrados.

Nuestros resultados iniciales mostraron que, si bien el algoritmo era capaz de generar descomposiciones de Goldbach, la distribución de los primos menores no se concentraba de manera evidente alrededor de la media. Más bien, observamos una tendencia a que el algoritmo encontrara soluciones donde el primo menor era relativamente pequeño, con la distribución extendiéndose hacia valores más cercanos a la media a medida que el número par crecía, pero sin una clara aglomeración central.

Una Nueva Perspectiva: El Primo Menor como Portador del Patrón

Esto nos llevó a refinar nuestra hipótesis: tal vez no ambos primos de la descomposición se concentren alrededor de la media, sino que el primo menor en sí mismo podría exhibir una distribución regular en relación con la media.

Para probar esto, modificamos nuestro análisis para enfocarnos específicamente en la distribución de los primos menores generados por nuestro algoritmo. Al visualizar esta distribución para diferentes números pares, observamos que, si bien había una tendencia a encontrar primos menores más pequeños, a medida que el número par objetivo aumentaba, también encontrábamos una gama más amplia de primos menores, extendiéndose hacia la mitad del número par.

Sin embargo, la "regularidad" que buscábamos, en forma de una fuerte concentración del primo menor alrededor de la media, no fue claramente evidente en nuestros resultados. La distribución parecía más bien dispersa, aunque con una influencia notable de los primos más pequeños.

¿Qué Significa Esto?

La capacidad de nuestro algoritmo para generar descomposiciones de Goldbach sugiere que la función que hemos definido captura alguna relación entre los números primos y los números pares. La falta de una concentración clara del primo menor alrededor de la media, sin embargo, indica que la "regularidad" que este algoritmo podría estar revelando no es una simple aglomeración en el punto central.

Podría ser que la regularidad esté manifestándose de una manera más sutil, quizás en la frecuencia de aparición de ciertos primos menores o en la distancia promedio de estos primos a la media a medida que el número par crece.

El Camino por Delante:

Nuestra exploración es solo un primer paso. Para comprender completamente las implicaciones de nuestro algoritmo y su posible conexión con la profunda regularidad que la Hipótesis de Riemann busca en los números primos, se necesita un análisis más profundo:

• Análisis Teórico de la Función: Desentrañar las razones matemáticas por las cuales nuestra función $s(p_i,C_{anterior})$ genera pares de Goldbach.

• Comparación con Datos Empíricos: Contrastar la distribución de los primos menores generados por nuestro algoritmo con la distribución observada en las descomposiciones de Goldbach conocidas.

• Exploración de Modificaciones: Ajustar nuestro algoritmo y la función subyacente para ver si podemos identificar patrones más claros o una mayor concentración alrededor de la media.

La búsqueda de la armonía en el universo de los números primos continúa. Si bien nuestro algoritmo exploratorio no ha desvelado la clave de la Hipótesis de Riemann (¡eso sería un descubrimiento digno de titulares mucho más grandes!), sí nos ha proporcionado una nueva lente a través de la cual observar la fascinante danza entre los números primos y los números pares, recordándonos la profunda interconexión que subyace en el corazón de las matemáticas.

¿Quién sabe qué secretos más podríamos desenterrar con una nueva perspectiva y un algoritmo curioso? La aventura matemática sigue...

El Fenómeno Influencer: Una Mirada Económica y Social

 En la era digital actual, los influencers se han convertido en una fuerza poderosa en diversas esferas, desde el entretenimiento hasta el comercio. El libro "Fenómeno Influencers" de Maximiliano Mozetic (2025) ofrece un análisis profundo de este fenómeno, explorando su impacto económico y las dinámicas que lo impulsan.

La Democratización de los Medios y el Ascenso de los Influencers

El libro destaca cómo el amplio acceso a las redes sociales ha democratizado los medios de comunicación, permitiendo que individuos participen activamente en áreas como el entretenimiento, el periodismo, la moda y las ventas online. Este cambio ha transformado la forma en que se produce y consume el contenido, dando lugar a nuevas oportunidades y desafíos.

¿Qué impulsa a los influencers y cómo operan?

Mozetic examina las motivaciones de los influencers, las condiciones en las que trabajan y las particularidades de su mercado. A diferencia de los productos homogéneos, los servicios que ofrecen los influencers son únicos, lo que los convierte en un fenómeno interesante desde la perspectiva de la teoría económica. La competencia por seguidores y la monetización de la exposición son aspectos clave en su actividad.

Fama, éxito e impacto económico

El autor plantea preguntas importantes sobre la relación entre la fama y el éxito de los influencers, y cuándo se puede considerar que alguien ha alcanzado el estatus de influencer. Además, explora cómo la actividad de los influencers genera externalidades positivas para productores y consumidores, y cómo está desplazando a la publicidad tradicional.

El futuro de los influencers y su papel en la economía

El libro también analiza el futuro de los influencers, su papel en la economía y su impacto en la desigualdad económica. Se destaca la importancia de la heterogeneidad de los bienes y agentes en el análisis económico, así como el papel de la Inteligencia Artificial como herramienta de apoyo en la investigación.

Conclusión

"Fenómeno Influencers" ofrece una visión del mundo de los influencers, desde sus orígenes hasta su impacto económico y social. Es una lectura esencial para cualquiera que busque comprender este fenómeno en constante evolución y su influencia en la sociedad actual.