Explorando las Distancias entre "Primos" en una Descomposición Iterativa de Goldbach

 Introducción: La distribución de los números primos, esos ladrillos fundamentales de la aritmética, ha fascinado a los matemáticos durante siglos. Su aparente aleatoriedad esconde patrones sutiles que aún estamos desentrañando. Un hilo conductor en esta búsqueda es la Conjetura de Goldbach, que postula que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. Inspirados en esta conjetura, nos embarcamos en una exploración numérica, utilizando un algoritmo iterativo y una función matemática derivada para analizar las "distancias" entre una secuencia modificada de "primos" en el proceso de descomposición de números pares.   

Nuestra función clave es: $s(p_i,C_{anterior})=p_i+|(2p_i-2)-C_{anterior}|$, donde $p_i$ es un elemento de nuestra secuencia modificada de "primos" (incluyendo el 1 y los impares), y $C_{anterior}$ es el número par compuesto anterior al objetivo.

Metodología: Implementamos una función en Python que aplica iterativamente esta fórmula. Comenzando con un número par objetivo, la función busca un "primer primo" ($p_i$) tal que el valor calculado de $s$ sea un número primo estándar y su suma sea el objetivo. Si no se encuentra una descomposición directa, la función recursivamente intenta descomponer el valor de $s$, rastreando el camino de los "primos" utilizados en cada paso.

Para nuestra experimentación, utilizamos la secuencia de "primos modificados" hasta aproximadamente 1.7 millones y probamos con varios números pares, incluyendo 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 120, 38, 444556, 3344558 y 2334458. Analizamos el resultante para cada número par, centrándonos en la secuencia de "primos" utilizados y las "distancias" entre ellos.

Resultados: Para números pares más pequeños, la función a menudo encontró descomposiciones directas en un solo paso. Sin embargo, al probar con números más grandes como 3344558 y 2334458, observamos caminos de descomposición más largos, lo que sugiere que la función necesitó varias iteraciones para llegar a una descomposición donde el segundo componente fuera primo.

Por ejemplo, para 3344558, el camino de "primos" utilizados fue [3, 5, 3, 3344547], con "distancias" de [2, -2, 3344544]. De manera similar, para 2334458, la secuencia fue [3, 5, 3, 2334447] con distancias [2, -2, 2334444].

Discusión y Posibles Interpretaciones: La presencia de caminos de descomposición iterativos sugiere que la función puede explorar relaciones más complejas entre los "primos" en el contexto de la suma para formar números pares. Las "distancias" observadas varían significativamente y parecen depender del número par objetivo y de la secuencia de "primos" elegidos en cada paso de la iteración.

Es importante destacar que este enfoque, aunque inspirado en la Conjetura de Goldbach, no proporciona una visión directa de la distribución general de los números primos en la recta numérica. Más bien, ofrece una perspectiva sobre cómo los "primos" (en nuestra definición modificada) podrían interactuar aditivamente.

La inclusión del 1 en nuestra secuencia de "primos" podría influir en los caminos de descomposición, aunque en los casos que exploramos aquí, los "primos" utilizados en los pasos finales fueron primos estándar mayores que 1.

Conclusiones: Nuestra exploración inicial utilizando una función iterativa para la descomposición de Goldbach ha revelado la posibilidad de caminos más complejos que involucran una secuencia de "primos". El análisis de las "distancias" entre estos "primos" en los caminos de descomposición podría, en futuras investigaciones, revelar patrones más profundos sobre las relaciones aditivas de los números primos.

Si bien este método no ofrece una fórmula directa para la distribución de los primos, sí abre una ventana interesante para estudiar cómo los primos se combinan para formar números pares, tal como lo sugiere la Conjetura de Goldbach.