El Elefante Económico

lunes, 28 de abril de 2025

Descifrando Goldbach con una Función Reveladora (III): ¿Un Nuevo Camino a la Suma de Primos?

La Conjetura de Goldbach, ese enigma matemático que ha cautivado mentes brillantes durante siglos, postula que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Hoy, presentamos un descubrimiento fascinante: una función derivada de un algoritmo exploratorio que podría ofrecernos una nueva lente para analizar esta conjetura.

De un Algoritmo a una Función Concisa

Inspirados en un algoritmo iterativo que utiliza una secuencia modificada de "primos" (incluyendo el 1) y la referencia al número par compuesto anterior, hemos logrado destilar la lógica central en una función matemática concisa. Esta función relaciona un "primer primo" potencial ( $p_{i}$ ) con un "segundo primo" potencial ( $s$ ) para la descomposición de un número par compuesto ( $C_{o bj e t i v o}$ ).

La función derivada es la siguiente:

$s (p_{i}, C_{an t er i or}) = p_{i} + ∣ (2 p_{i} - 2) - C_{an t er i or} ∣$

Donde:

$p_{i}$ es el $i$ -ésimo número en la secuencia de "primos" (1, 3, 5, 7, ...).
$C_{an t er i or}$ es el número par compuesto anterior al que se está intentando descomponer.

La clave para utilizar esta función radica en iterar sobre la secuencia de "primos" $p_{i}$ hasta que alcancemos o superemos el número par compuesto objetivo ( $C_{o bj e t i v o}$ ). Para cada $p_{i}$ , calculamos el valor de $s (p_{i}, C_{an t er i or})$ y luego verificamos dos condiciones cruciales:

¿Es $s (p_{i}, C_{an t er i or})$ un número primo estándar?
¿La suma $p_{i} + s (p_{i}, C_{an t er i or})$ es igual a $C_{o bj e t i v o}$ ?

Si ambas condiciones se cumplen, hemos encontrado una descomposición de Goldbach para $C_{o bj e t i v o}$ .

Poniendo la Función a Prueba: Resultados Prometedores

Hemos sometido esta función a pruebas iniciales con los primeros números pares compuestos mayores que 4, utilizando el número par anterior como referencia en cada cálculo:

Para 6 ( $C_{an t er i or} = 4$ ): Con $p_{i} = 3$ , $s = 3$ , y $3 + 3 = 6$ .
Para 8 ( $C_{an t er i or} = 6$ ): Con $p_{i} = 3$ , $s = 5$ , y $3 + 5 = 8$ .
Para 10 ( $C_{an t er i or} = 8$ ): Con $p_{i} = 3$ , $s = 7$ , y $3 + 7 = 10$ .
Para 12 ( $C_{an t er i or} = 10$ ): Con $p_{i} = 5$ , $s = 7$ , y $5 + 7 = 12$ .
Para 30 ( $C_{an t er i or} = 28$ ): Con $p_{i} = 7$ , $s = 23$ , y $7 + 23 = 30$ .

Estos resultados iniciales sugieren que la función derivada de nuestro algoritmo es capaz de identificar descomposiciones de Goldbach para estos números pares compuestos. La belleza de esta formulación radica en su concisión y la clara dependencia entre el "primer primo" probado y el "segundo primo" potencial, influenciada por el número par anterior.

¿Un Nuevo Horizonte en la Investigación de Goldbach?

Si bien es crucial enfatizar que esta función, al igual que el algoritmo del que proviene, no constituye una demostración de la Conjetura de Goldbach, sí podría representar una herramienta valiosa para la exploración y el análisis. Su capacidad para generar posibles parejas de primos de manera sistemática podría ayudarnos a:

Visualizar patrones en las descomposiciones de Goldbach.
Analizar la relación entre los primos y los números pares compuestos.
Comparar los resultados con las descomposiciones conocidas.
Potencialmente, inspirar nuevas vías de investigación.

La búsqueda de la verdad en matemáticas a menudo se asemeja a desentrañar un complejo rompecabezas. Esta función podría ser una nueva pieza que nos acerque un poco más a la comprensión de la elegante simplicidad de la Conjetura de Goldbach.

¿Qué implicaciones crees que podría tener este descubrimiento? ¿Podría esta función ser un paso hacia una demostración o una herramienta útil para futuras exploraciones? ¡Comparte tus ideas y comentarios!

Un Nuevo Enfoque para la Conjetura de Goldbach (II): Explorando Todas las Sumas de Primos

La Conjetura de Goldbach, esa joya sin demostrar de la teoría de números que afirma que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos, sigue inspirando la búsqueda de patrones y demostraciones.

En este artículo, presentamos un algoritmo que no solo busca una descomposición de Goldbach, sino que explora múltiples combinaciones de "primos" para un número par compuesto dado, utilizando una lógica basada en diferencias acumulativas y un número par anterior como referencia.

El Corazón del Algoritmo: Iteración Exhaustiva con Condiciones de Parada

Nuestro algoritmo se basa en una secuencia de "primos" (1, 3, 5, 7, 11, ...) y sigue estos pasos para un número par compuesto $C_{o bj e t i v o}$ , conociendo el número par compuesto anterior $C_{an t er i or}$ :

La Lista de "Primos": Consideramos la secuencia 1, 3, 5, 7, 11, ...
Almacenamiento de Descomposiciones: Inicializamos una lista vacía para guardar todas las parejas de primos que sumen $C_{o bj e t i v o}$ .
Iteración Primaria: Recorremos cada número $p_{i}$ en nuestra lista de "primos", tratándolo como el primer posible sumando primo.
Condición de Parada Temprana: Si el "primo" actual $p_{i}$ es mayor o igual al número par compuesto objetivo $C_{o bj e t i v o}$ , detenemos la iteración. No es necesario seguir buscando con primos más grandes.
Cálculo del Segundo Sumando Potencial: Para el $p_{i}$ actual, calculamos un valor intermedio $v$ sumando las diferencias multiplicadas por 2 desde $p_{i}$ hasta 1: $v = (p_{i} - p_{i - 1}) \times 2 + (p_{i - 1} - p_{i - 2}) \times 2 + ... + (p_{2} - p_{1}) \times 2$ (donde $p_{1} = 1$ ).
Diferencia Absoluta: Encontramos la diferencia absoluta $d = ∣ v - C_{an t er i or} ∣$ .
Segundo Sumando: El segundo sumando primo potencial es $s = p_{i} + d$ .
Verificación de Goldbach: Comprobamos si $s$ es un número primo estándar y si la suma de $p_{i}$ y $s$ es igual a $C_{o bj e t i v o}$ ( $p_{i} + s = C_{o bj e t i v o}$ ). Si ambas son verdaderas, añadimos la descomposición ( $p_{i} + s = C_{o bj e t i v o}$ ) a nuestra lista de resultados.
Búsqueda Continua: El algoritmo continúa iterando sobre los siguientes "primos" $p_{i}$ hasta que la Condición de Parada Temprana se cumpla, asegurando una exploración exhaustiva de las combinaciones posibles.
Resultado Final: Devolvemos la lista completa de las descomposiciones de Goldbach encontradas para $C_{o bj e t i v o}$ .

Ejemplos en Acción

Aplicando este algoritmo a algunos números pares compuestos:

Para 6 ( $C_{an t er i or} = 4$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos la descomposición $3 + 3 = 6$ .
Para 8 ( $C_{an t er i or} = 6$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos la descomposición $3 + 5 = 8$ .
Para 10 ( $C_{an t er i or} = 8$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos la descomposición $3 + 7 = 10$ .
Para 12 ( $C_{an t er i or} = 10$ ): Con $p_{i} = 5$ , encontramos la descomposición $5 + 7 = 12$ .

La inclusión de la condición de parada y la continuación de la búsqueda aseguran que el algoritmo no se detenga en la primera solución encontrada, sino que explore todas las combinaciones de "primos" hasta alcanzar o superar el número par compuesto objetivo.

Un Paso Más en la Exploración de Goldbach

Este algoritmo, con su enfoque sistemático y la consideración de múltiples combinaciones, ofrece una manera interesante de investigar la Conjetura de Goldbach. Si bien aún no constituye una prueba formal, su capacidad para encontrar descomposiciones y su método único de utilizar el número par anterior en el cálculo abren nuevas vías para la exploración numérica y la posible identificación de patrones ocultos en la distribución de los números primos.

La búsqueda de la verdad matemática a menudo implica explorar caminos no convencionales. ¿Podría este algoritmo ser una herramienta valiosa en esa búsqueda? Te invitamos a reflexionar y compartir tus ideas sobre este enfoque.

Testeo de la ecuación de goldbach en Python

Estimados lectores,

Aquí va el código en Python para hacer el testeo de la ecuación de Goldbach:

def es_primo(n):

if n < 2:

return False

for i in range(2, int(n**0.5)+1):

if n % i == 0:

return False

return True

def lista_primos_con_1(hasta):

"""Genera lista de primos estándar + el 1 al principio."""

primos = [1]

for num in range(2, hasta+1):

if es_primo(num):

primos.append(num)

return primos

def encontrar_goldbach(Canterior, Cobjetivo):

primos = lista_primos_con_1(Cobjetivo)

for i, pi in enumerate(primos):

if pi == 1:

continue # saltar el 1 como pi

# calcular v: sumando todas las diferencias*2 desde pi hasta 1

v = 0

for j in range(i, 0, -1):

v += (primos[j] - primos[j-1]) * 2

d = abs(v - Canterior)

s = pi + d

if es_primo(s) and (pi + s == Cobjetivo):

return (pi, s)

return None

# Ejemplo de uso

Canterior = 98

Cobjetivo = 100

resultado = encontrar_goldbach(Canterior, Cobjetivo)

if resultado:

print(f"{Cobjetivo} = {resultado[0]} + {resultado[1]}")

else:

print(f"No se encontró descomposición para {Cobjetivo}.")

---

¿Qué hace?

Calcula v sumando las diferencias hacia atrás hasta el 1.

Calcula d = |v - Canterior|.

Calcula s = pi + d.

Verifica si s es primo y pi + s = Cobjetivo.

Si encuentra, devuelve el par (pi, s).

Si no, dice que no encontró.

Saludos,

Maxi

domingo, 27 de abril de 2025

Un Nuevo Enfoque para la Conjetura de Goldbach: Descifrando los Pares con Primos

La Conjetura de Goldbach, formulada en 1742 por el matemático Christian Goldbach, sigue siendo uno de los problemas no resueltos más fascinantes de la teoría de números. Afirma que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. A pesar de su sencilla formulación, una demostración universal ha eludido a los matemáticos durante siglos.

En este artículo, exploramos un algoritmo intrigante que busca desentrañar esta conjetura, generando números pares compuestos a partir de una secuencia de "primos" y utilizando el número par compuesto anterior como punto de referencia.

La Base del Algoritmo: Primos y un Número Anterior

Nuestro algoritmo trabaja con una secuencia de números que incluye los primos estándar (3, 5, 7, 11, ...) y, de manera peculiar, el número 1, al cual consideramos como el "primo anterior" para el número 3 en nuestros cálculos.

El proceso para encontrar un número par compuesto $C_{o bj e t i v o}$ , dado el número par compuesto anterior $C_{an t er i or}$ , se describe en los siguientes pasos:

Lista de "Primos": Comenzamos con la secuencia 1, 3, 5, 7, 11, ...
Iteración Primaria: Recorremos cada número $p_{i}$ en esta lista, considerándolo como el primer sumando primo potencial.
Cálculo del Segundo Sumando Potencial: Para cada $p_{i}$ , identificamos el "primo anterior" $p_{i - 1}$ y el "primo" anterior a este, $p_{k, hasta llegar al número 1 de la secuencia}$ . Con estos valores, calculamos un valor intermedio (para el caso de 5, serían 3 números primos) $v = (p_{i} - p_{i - 1}) \times 2 + (p_{i - 1} - p_{k}) \times 2$ . Luego, encontramos una diferencia $d = ∣ v - C_{an t er i or} ∣$ . El segundo sumando primo potencial es $s = p_{i} + d$ . (Para el caso inicial de $p_{i} = 3$ , $p_{i - 1} = 1$ , y $p_{k}$ se considera 0, simplificando el cálculo de $v$ ).
Verificación de Goldbach: Comprobamos si $s$ es un número primo estándar y si la suma de nuestro primer primo potencial $p_{i}$ y el segundo $s$ es igual al número par compuesto objetivo $C_{o bj e t i v o}$ ( $p_{i} + s = C_{o bj e t i v o}$ ). Si ambas condiciones se cumplen, hemos encontrado una descomposición de Goldbach para $C_{o bj e t i v o}$ .

Poniendo el Algoritmo a Prueba

Veamos cómo funciona este algoritmo para los primeros números pares compuestos mayores que 4:

Para 6 ( $C_{an t er i or} = 4$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos $s = 3$ , y $3 + 3 = 6$ .
Para 8 ( $C_{an t er i or} = 6$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos $s = 5$ , y $3 + 5 = 8$ .
Para 10 ( $C_{an t er i or} = 8$ ): Con $p_{i} = 3$ , encontramos $s = 7$ , y $3 + 7 = 10$ .
Para 12 ( $C_{an t er i or} = 10$ ): Con $p_{i} = 5$ , encontramos $s = 7$ , y $5 + 7 = 12$ .

Los resultados iniciales son prometedores, ya que el algoritmo logra identificar una de las descomposiciones de Goldbach para estos números.

¿Un Nuevo Camino hacia la Demostración?

Si bien este algoritmo parece capaz de generar las parejas de primos que suman los números pares compuestos, es importante destacar que no constituye una demostración de la Conjetura de Goldbach. Sin embargo, podría ofrecer una nueva perspectiva y una herramienta para explorar las propiedades de los números primos y su relación con los números pares.

La belleza de la teoría de números radica en la constante búsqueda de patrones y relaciones. Este algoritmo, con su enfoque iterativo y su uso del número par compuesto anterior como guía, podría inspirar nuevas investigaciones y, quién sabe, quizás allanar el camino hacia una comprensión más profunda de uno de los enigmas matemáticos más perdurables.

¿Qué piensas de este enfoque? ¿Podría ser este un paso hacia la resolución de la Conjetura de Goldbach, o simplemente una curiosa exploración numérica? ¡Comparte tus ideas en los comentarios!